sábado, 30 de mayo de 2009

2ºsec/ Método de Igualación

3. MÉTODO DE IGUALACIÓN
Este método consiste en despejar el valor de la misma variable en función de la otra, en las dos ecuaciones dadas, igualando después ambos valores.
Sea por ejemplo, el sistema: 2x + 3y = 19
3x - y = 1
Paso 1. Despeje de x en las dos ecuaciones.
Puedo despejar también la y, yo escojo la variable, lo importante es que despeje la misma variable en la ecuación 1 y 2.
Paso el término de y al segundo miembro: 2x = 19 – 3y 3x = 1 + y
Divido: x = 19 – 3y /2 x = 1 + y/3

Las llamo ecuación 3 y 4: ③x = 19 – 3y/2 ④ x = 1 + y/3

Paso 2. Igualación:
Igualo las ecuaciones 3 y 4: 19 – 3y /2= 1 + y/3

Multiplico cruzado: 19 – 3y/2 = 1 + y/3

3(19 – 3y) = 2(1 + y)
57 – 9y = 2 + 2y
Pasamos los términos desacomodados: - 2y – 9y = 2 – 57
Reducimos: - 11y = - 55
Cambiamos de signo la y, porque está negativa: 11y = 55
Dividimos: y = 55/11

El resultado de y es: y = 5

Paso 3. Sustitución.
Puedo sustituir en cualquier ecuación 1, 2, 3 ó 4: ④ x = 1 + y/3

Quito y, en su lugar pongo el resultado que obtuve: x = 1 + 5/3

Sumo: x = 6/3

Divido: x = 2
Ese es el resultado de x

Ejercicio:
Resuelve aplicando el método de igualación:

9x – 7y = 3 4x – 3y = 19
3x + 8y = 30 3x – 2y = 15

2ºsec/ Método de sustitución


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar, en una de las ecuaciones dadas, el valor de una variable en función de la otra variable, y sustituir después este valor en la otra ecuación.

Sea el sistema: 2x + 3y = 19
3x - y = 1
Paso 1. Despeje de x en la ecuación 1.
Puedo despejar la variable que quiera (x o y) de cualquier ecuación ( 1 ó 2).
① 2x + 3y = 19
Pasamos 3y al otro miembro, cambiando de signo
2x = 19 – 3y
Dividimos la ecuación por 2: x = 19 – 3y/2

A esta ecuación la llamo ecuación 3③: ③ x = 19 – 3y/2

Paso 2. Sustitución de x en la ecuación 2.
Como el despeje la hice en la ecuación 1, ahora sustituyo en la 2.
② 3x – y = 1
Quito la x, y en su lugar sustituyo por lo que obtuve en el primer paso.
3(19 – 3y/2) – y = 1

Resuelvo la multiplicación: 57 – 9y /2 - y = 1

Para quitar el denominador todo lo multiplico por 2: (57 – 9y/2 - y = 1 ) 2

57 – 9y – 2y = 2
Movemos al otro miembro el que está desacomodado: - 9y – 2y = 2 – 57
Reducimos: - 11y = -55
Como la y está negativa, cambiamos signos: 11y = 55
Dividimos entre 11: y = 55/11

El resultado de y es: y = 5
Paso 3. Sustitución de y en 3.
③ x = 19 – 3y/2

Quitamos y , en su lugar ponemos el resultado que acabamos de obtener:
x = 19 – 3(5)/2

Multiplicamos: x = 19 – 15/2

Restamos: x = 4/2

Dividimos: x = 2




Ejercicio:

Resuelve aplicando el método de sustitución:

2x + 3y = 5 x + 2y = 7
x + y = 2 4x – y = 19

2ºsec/ Método de reducción.

MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN
Este método consiste en igualar, en valor absoluto, los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones, por medio de multiplicaciones adecuadas y después sumar o restar, miembro a miembro, las ecuaciones, para eliminar dicha variable.

Sea el sistema
Paso 1. Reducción de x
En este paso se multiplican las dos ecuaciones 1 y 2 por los coeficientes de x solamente que intercambiados, la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2.
También debemos recordar que como los números de x son positivos nos conviene multiplicar por un negativo para poder restar las ecuaciones. Así tenemos:
① 3 (2x + 3y = 19) 6x + 9y = 57
② -2 (3x – y = 1) -6x + 2y = -2
Sumamos las ecuaciones: 11y = 55
Dividimos entre 11: y = 55/11

El resultado de y es: y = 5

Paso 2. Reducción de y
En este paso se multiplican las dos ecuaciones 1 y 2 por los coeficientes de y.
Aquí los dos números que multiplicamos deben ser positivos ya que los coeficientes de y son de diferente signo. Tenemos:
① 1 (2x + 3y = 19) 2x + 3y = 19
② 3 (3x – y = 1) 9x – 3y = 3
Sumamos las ecuaciones: 11x = 22
Dividimos entre 11: x = 22/11

El resultado de x es: x = 2



Ejercicio:
Resolver por método de reducción los siguientes sistemas.

2x + 5y = 18 3x + 4y = 3
4x + 5y = 26 5x – 4y = 37

2º sec/ Interpretación de gráficas



INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS






La siguiente gráfica muestra las entradas y salidas de una tienda durante un año:





Línea morada representan los ingresos.


Línea rosa representan los gastos.


1) ¿Cómo se le llama a la diferencia entre ingresos y egresos?
2) ¿Cuál fue el mes en que hubo más ingresos?
3) ¿Cuál fue el mes en que hubo menos ingresos?
4) ¿Cuál fue el mes en que hubo más egresos?
5) ¿Cuál fue el mes en que hubo menos egresos?
6) ¿En cuál mes hubo mayor ganancia?
7) ¿En cuáles meses hubo pérdida?
8) Realiza una tabla de ganancias en el año:


enero:_________ julio:_________


febrero:_________ agosto:_________


marzo:_________ septiembre:________


abril:_________ octubre:_________


mayo:_________ noviembre:_________


junio:_________ diciembre:_________



9) Realiza una gráfica de las ganancias en el año:


viernes, 29 de mayo de 2009

1ºsec/Juegos equiprobables



Juegos equiprobables

1. Tengo 50 canicas en una bolsa de tela. 30 canicas son negras y 20 son verdes; todas son del mismo tamaño. Si tú y yo jugamos a que, sin ver, vayamos sacando por turnos una canica de la bolsa y gana el primero que tenga tres canicas de un solo color, si yo elijo las de color negro, ¿los dos tenemos la misma probabilidad de ganar? ___________
El juego sería “justo” si la probabilidad de ganar fuera igual para los dos; es decir, que fuera equiprobable.
¿Es éste un juego “justo”? _________________
¿Qué habría que hacer para que el juego fuera equiprobable? __________________________
______________________________________


2. Antonio y Hugo me invitan a jugar con un dado de colores: dos caras son negras, dos blancas y dos rojas. Conforme sale un color, se avanzaría la ficha correspondiente. Gana el que llegue primero a la meta.










Antes de iniciar el juego se me ocurrió lanzar el dado en varias ocasiones y registré los resultados: N, B, B, N, R, N, R, B, N, R, N, B, N, B, N
a) Si quisiera ganar, ¿qué color convendría elegir? ______________________
b) ¿Con los resultados obtenidos al lanzar el dado se puede pensar que todas sus caras tienen la misma probabilidad de salir? _______________
c) Si se mantuviera la misma proporción de resultados, ¿cuál es el número probable de caras rojas que se obtendrá en 30 lanzamientos del dado? _____________________________________________________
d) ¿Cuántas veces es probable que haya salido cara blanca en 24 lanzamientos?

3. En una urna hay 10 fichas negras y 10 blancas. Juan y yo jugamos, por turnos, a sacar, sin ver, una ficha en cada ocasión. Una vez que el primer jugador saca una ficha, la conserva. Si el segundo saca una ficha del mismo color, gana el primer jugador; en caso contrario, gana el segundo jugador. ¿Es éste un juego justo? Argumenta tu respuesta y si tienes oportunidad practica el juego con un compañero para comprobarla.
______________________________________ ______________________________________
¿Será justo un juego si, después de que el primer jugador saca una ficha, registra el color y la regresa a la urna? Argumenta tu respuesta. ____________________________________________________________________________

1ºsec/áreas de figuras

Áreas de figuras.
Consultar el formulario de áreas de figuras para resolver los siguientes ejercicios:
Calcular el área de la figura que está sombreada.







Área del cuadrado: 6 cm
Diámetro del círculo: 3 cm
Área coloreada: ____________









Cuadrados: lado = 1 cm
Triángulo: base = 2 cm
Altura = 1 cm
Rectángulo: base = 2.5 cm
Altura = 0.6 cm
Círculo: radio = 3 cm
Área coloreada: _____________


Base: 5 cm
Altura: 6 cm
Diámetro: 2 cm
Área coloreada: _____________
Área coloreada: ____________________
Área coloreada: _______________

martes, 26 de mayo de 2009

1º sec/operaciones de números con signo

Tema: Operaciones de números con signo

Ley de los signos para suma y resta:
“Signos iguales se suman, signos diferentes se restan y queda el signo de mayor valor absoluto.”

a) + 3 + 9 =

Como tienen el mismo signo: se suman 3 y 9 son 12
¿Cuál es el signo del número con mayor valor absoluto? El del 9 que es +
Por lo tanto + 3 + 9 = + 12

b) - 3 + 9 =

Como tienen diferente signo: se restan 3 para 9 son 6
¿Cuál es el signo del número con mayor valor absoluto? El del 9 que es +
Por lo tanto - 3 + 9 = + 6

c) + 3 – 9 =

Como tienen diferente signo: se restan 3 para 9 son 6
¿Cuál es el signo del número con mayor valor absoluto? El del 9 que es –
Por lo tanto + 3 – 9 = - 6

d) - 3 – 9 =

Como tienen el mismo signo: se suman 3 y 9 son 12
¿Cuál es el signo del número con mayor valor absoluto? El del 9 que es -
Por lo tanto – 3 – 9 = - 12

e) En una resta, encontramos paréntesis que tienen antes del signo menos. Estos paréntesis se llaman inversos o simétricos. – ( ) es inverso

+ ( + 3 ) – ( + 4 ) – ( - 7 ) + ( - 2 ) =

No es inverso Es inverso Es inverso No es inverso

A los paréntesis que son inversos se les cambia el signo del número que está dentro del paréntesis.
Por lo tanto queda: + 3 – 4 + 7 – 2 = (Se les cambia de signo a los paréntesis inversos)

Ejercicio 1
Resuelve:
+ 3 + 9 – 5 – 2 + 1 =
- 4 + 7 – 1 + 3 =
- 1 + 3 – 2 + 1 + 5 =
- ( + 4 ) – ( - 3 ) =
- ( + 3 ) + ( - 5 ) =
( - 6 ) – ( - 4 ) =
( + 3 ) – ( + 3 ) =
( - 2 ) + ( - 5 ) – ( - 3 ) – ( + 8 ) =
( - 3 + 2 ) – ( - 2 + 4 ) =
( 8 – 3 ) – ( 5 – 2 ) =

Ley de los signos para multiplicación y división

Según esta ley, no importa quién es el mayor, simplemente se multiplican los signos:
( + ) ( + ) = +
( + ) ( - ) = -
( - ) ( + ) = -
( - ) ( - ) = +

Ejemplos:

a) ( + 3 ) ( - 4 ) =

Como los paréntesis están juntos, no hay signo entre los dos paréntesis, me indica una multiplicación y ( + ) ( - ) = -
Por lo tanto ( + 3 ) ( - 4 ) = - 12

b) ( - 8 ) : ( + 2 ) =

Como los paréntesis tienen el signo : indica división, y ( - ) ( + ) = -
Por lo tanto ( - 8 ) : ( + 2 ) = - 4

c) (+ 3 ) ( - 2 ) ( - 1 ) =

Como los paréntesis están juntos, no hay signo entre los paréntesis, me indica una multiplicación, y ( + ) ( - ) = - y ( - ) ( - ) = +
Por lo tanto ( + 3 ) ( - 2 ) ( - 1 ) = +6

d) (- 4 ) ( - 3 ) ( + 2 ) ( - 5 ) ( + 2 ) =

Como los paréntesis están juntos, me indica multiplicación. Y también puedo contar los signos menos, si la multiplicación tiene un número par de signos menos, el resultado será + y si la multiplicación tiene un número impar de signos menos, el resultado será -.
Por lo tanto (- 4 ) ( - 3 ) ( + 2 ) ( - 5 ) ( + 2 ) = - 240

Ejercicio 2:
Resolver:
( - 3 ) ( + 7 ) =
(- 12 ) : ( - 3 ) =
( 9 ) ( - 2 ) =
( 15 ) : ( - 3 ) =
( - 4 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 1 ) =
( + 3 ) ( - 5 ) ( + 2 ) ( - 1 ) ( + 3 ) =
( - 2 + 4 ) : ( - 7 + 6 ) =
(+ 3 – 2 ) ( - 3 – 4 ) =
( - 3 – 7 ) : ( - 5 ) =